Bruger:  


Hop til eNote


 
eNote 29

Komplekse tal

I denne eNote introduceres og undersøges talmængden , de komplekse tal. Da betragtes som en udvidelse af , forudsætter eNoten almindeligt kendskab til de reelle tal, herunder de elementære reelle funktioner som de trigonometriske funktioner og den naturlige eksponentialfunktion. Endelig forudsættes elementært kendskab til vektorer i planen.

Version Karsten Schmidt.

29.1 Indledning

En simpel andengradsligning som har to reelle løsninger, nemlig

idet og . På tilsvarende vis har ligningen to løsninger, nemlig

idet og

I ovenstående var højresiden positiv. Med ligningen

skal vi passe mere på; her afhænger alt nemlig af fortegnet på . Hvis , har ligningen løsningerne

idet og Men hvis , har ligningen ingen løsninger, da der ikke findes reelle tal, hvis kvadrat er negativt.

Men nu stiller vi os selv det spørgsmål, om man kunne forestille sig en større mængde af tal end de reelle; en mængde, der indeholder alle de reelle tal, men derudover også indeholder løsninger til en ligning som

Ligningen måtte da i analogi med de ovenstående ligninger have de to løsninger

Lad os være dristige og antage, at dette faktisk er muligt. Vi vælger så at kalde tallet for . Ligningen har da to løsninger, nemlig

idet

Vi stiller nu det ekstra krav til det hypotetiske tal , at man skal kunne regne med det efter de samme regneregler, som gælder for de reelle tal. Man skal for eksempel kunne gange med et reelt tal og lægge denne størrelse til et andet reelt tal . Hermed opstår et nyt slags tal af typen

Nedenfor beskriver vi, hvordan de nævnte ambitioner om en større talmængde kan imødekommes. Vi ser på, hvordan strukturen af talmængden må være, og hvilke lovmæssigheder den indeholder. Talmængden kalder vi de komplekse tal og giver den symbolet . Der skal gælde, at er en ægte delmængde af — altså at indeholder hele samt de nye tal, der opfylder de nævnte ambitioner, som er umulige i . Som allerede antydet må være to-dimensional i den forstand, at et komplekst tal indeholder to reelle tal og !

29.2 Komplekse tal indført som reelle talpar

Den sædvanlige skrivemåde for et komplekst tal er

(29-1)

hvor og er reelle tal, og er det nye imaginære tal, der opfylder Denne form er særdeles praktisk ved regning med komplekse tal og derfor den form, der oftest ses i tekniske anvendelser. Men af teoretiske grunde kan vi ikke definere de komplekse tal ud fra formen (29-1). For hvad betyder egentlig et produkt som og hvad betyder additionen

En tilfredsstillende måde at indføre komplekse tal på er som mængden af reelle talpar . Vi vil i dette afsnit vise, hvordan man i denne mængde kan definere regneoperationer (addition, subtraktion, multiplikation og division), der opfylder de sædvanlige regneregler fra reelle tal. De vil vise sig at give skrivemåden (29-1) fuld mening.

 
  Definition 29.1: De komplekse tal

De komplekse tal defineres som mængden af ordnede reelle talpar:

(29-2)

Som symbol for et vilkårligt komplekst tal vil vi ofte bruge bogstavet

 
  Eksempel 29.2

Her angives fem forskellige komplekse tal:

Først indfører vi regnearten addition for komplekse tal. Derefter subtraktion som en særlig form for addition.

 
  Definition 29.3: Addition af komplekse tal

Lad og være to komplekse tal.

Summen defineres ved

(29-3)

 
  Eksempel 29.4: Addition

For de to komplekse tal og gælder:

Det komplekse tal er neutralt med hensyn til addition, idet der for ethvert komplekst tal gælder:

Det er klart, at er det eneste komplekse tal, som er neutralt med hensyn til addition.

For ethvert komplekst tal findes et modsat tal, som adderet med giver . Det komplekse tal har det modsatte tal , idet

Det er klart, at er det eneste modsatte tal for . Det entydigt bestemte modsatte tal til et komplekst tal betegnes Ved hjælp heraf kan subtraktion af komplekse tal indføres som en særlig form for addition.

 
  Definition 29.5: Subtraktion af komplekse tal

For to komplekse tal og defineres differensen ved summen af og det modsatte tal for :

(29-4)

Lad os for to vilkårlige komplekse tal og beregne differensen ud fra definition 29.5:

Dette giver den enkle formel

(29-5)

 
  Eksempel 29.6: Subtraktion af komplekse tal

For de to komplekse tal og gælder:

Mens addition (og subtraktion) af komplekse tal synes enkel og naturlig, virker multiplikation (og division) af komplekse tal mere ejendommelig. Vi skal senere se, at alle fire regningsarter har markante geometriske ækvivalenter i den såkaldte komplekse talplan, som er den grafiske fremstilling af komplekse tal. Men i første omgang må vi blot tage definitionerne for gode varer. Først giver vi definitionen på multiplikation. Derefter på division som en særlig form for multiplikation.

 
  Definition 29.7: Multiplikation af komplekse tal

Lad og være to komplekse tal.

Produktet defineres ved

(29-6)

 
  Eksempel 29.8: Multiplikation af komplekse tal

For de to komplekse tal og gælder:

Det komplekse tal er neutralt med hensyn til multiplikation, idet der for ethvert komplekst tal gælder:

Det er klart, at er det eneste komplekse tal, som er neutralt med hensyn til multiplikation.

For ethvert komplekst tal udover findes et unikt reciprokt tal, som ganget med det giver . Det betegnes . Det komplekse tal har det reciprokke tal

(29-7)

idet

 
  Opgave 29.9

Vis, at ethvert komplekst tal har netop ét reciprokt tal.

Ved hjælp af reciprokke tal kan vi nu indføre division som en særlig form for multiplikation.

 
  Definition 29.10: Division af komplekse tal

Lad og være vilkårlige komplekse tal, hvor ).

Kvotienten defineres som produktet af og det reciprokke tal for

(29-8)

Lad os for to vilkårlige komplekse tal og beregne kvotienten ud fra definition 29.10:

Vi får hermed følgende formel for division:

(29-9)

 
  Eksempel 29.11: Division af komplekse tal

Betragt de to komplekse tal og .

Vi slutter afsnittet med at vise, at de komplekse tal med de indførte regneoperationer opfylder regneregler kendt fra de reelle tal.

 
  Sætning 29.12: Egenskaber for komplekse tal

De komplekse tal overholder følgende regneregler:

  1. Kommutativ regel for addition:

  2. Associativ regel for addition:

  3. Tallet er neutralt mht. addition

  4. Ethvert har et modsat tal hvor

  5. Kommutativ regel for multiplikation:

  6. Associativ regel for multiplikation:

  7. Tallet er neutralt mht. multiplikation

  8. Ethvert har et reciprokt tal , hvor

  9. Distributiv regel:

 
  Bevis

Lad os se på egenskab 1, den kommutative regel. Der er givet to komplekse tal og . Der gælder, at

Ved det andet lighedstegn er der for både første- og andenkoordinat benyttet, at den kommutative lov for addition gælder for de reelle tal. Dermed ses at den kommutative regel også gælder for komplekse tal.

I beviset for egenskaberne og udnyttes på tilsvarende måde, at de tilsvarende regler gælder for reelle tal. Detaljerne overlades til læseren. For egenskaberne og henvises til gennemgangen tidligere i dette afsnit.

29.3 Komplekse tal på rektangulær form

Da der til ethvert ordnet reelt talpar svarer et unikt punkt i -planen, og omvendt til ethvert punkt i -planen svarer et unikt ordnet reelt talpar, kan opfattes som mængden af punkter i -planen. På figur er vist seks punkter i -planen, det vil sige seks komplekse tal.



Figur 29.1 Seks komplekse tal i -planen

Vi vil i det følgende ændre skrivemåden for komplekse tal.

Først identificerer vi alle komplekse tal af typen , det vil sige de tal der ligger på -aksen, med de tilsvarende reelle tal . Specielt skrives tallet som og tallet som . Bemærk, at dette ikke fører til konflikt mellem de indførte regnearter for komplekse tal og de sædvanlige for reelle tal, idet

og

Derved kan -aksen opfattes som en almindelig reel talakse og betegnes realaksen. På den måde kan de reelle tal ses som en delmængde af de komplekse. At -aksen kaldes imaginæraksen hænger sammen med de forunderlige egenskaber for det komplekse tal , som vi nu skal indføre og undersøge.

 
  Definition 29.13: Tallet i

Ved det komplekse tal forstås tallet

En afgørende motivation for indføringen af de komplekse tal var ønsket om en talmængde, der indeholder en løsning på ligningen

Med tallet har vi fået en løsning, idet der gælder:

 
  Sætning 29.14: Komplekse tals rektangulære form

Ethvert komplekst tal kan skrives på formen

(29-10)

Den skrivemåde kaldes den rektangulære form af

 
  Bevis

Beviset består i simple omregninger, hvor den nye skrivemåde for tal af typen indgår.

Da er neutralt med hensyn addition, og er neutralt med hensyn multiplikation, gælder følgende identiteter:

Endvidere ses nemt, at

Lad os nu betragte alle komplekse tal af typen Da

kan forstås som -aksens enhed, og man omtaler derfor som den imaginære enhed. Heraf kommer betegnelsen imaginæraksen for -aksen.

På figur ses en opdatering af situationen fra figur , hvor tallene betegnes ved deres rektangulære form.



Figur 29.2 Seks komplekse tal på rektangulær form i den komplekse talplan

Alle reelle tal er komplekse, men ikke alle komplekse tal er reelle!

 
  Metode 29.15: Udregninger ved hjælp af rektangulær form

En afgørende fordel ved den rektangulære form af komplekse tal er, at man ikke behøver huske de formler for regneoperationerne addition, subtraktion, multiplikation og division, der blev givet i definitionerne 29.3, 29.5, 29.7 og 29.10. Alle udregninger kan nemlig udføres ved, at man følger de sædvanlige regneregler for reelle tal og behandler tallet , som man ville behandle en reel variabel — dog med den forskel, at man kan erstatte med

I det følgende eksempel vises, hvordan multiplikation kan udføres ved sædvanlig regning med faktorernes rektangulære form.

 
  Eksempel 29.16: Multiplikation vha. rektangulær form

Vi udregner produktet af de to komplekse tal givet på rektangulær form og

Resultatet svarer til definitionen, se definition 29.7!

 
  Opgave 29.17

Bevis, at den følgende regel for reelle tal — den såkaldte nulregel — også gælder for komplekse tal: ”`Et produkt af to tal er , hvis og kun hvis mindst én af faktorerne er ”'

 
  Bemærkning 29.18: Potenser for komplekse tal

Egenskab i sætning 29.12 giver os mulighed for indføring af heltals-potenser for komplekse tal, der svarer til heltals-potenser for reelle tal. Lad i det følgende betegne et naturligt tal.

1.    osv.

2.    Pr. definition sættes

3.    Endelig sættes

De vises nemt at de sædvanlige regneregler for heltals-potenser af reelle tal også gælder for de komplekse:

Vi afslutter dette afsnit med at indføre begreberne realdel og imaginærdel for komplekse tal.

 
  Definition 29.19: Realdel og imaginærdel

Givet et komplekst tal med rektangulær form Ved realdelen af forstås det reelle tal

(29-11)

og ved imaginærdelen af forstås det reelle tal

(29-12)

Udtrykket rektangulær form hentyder til tallets placering i den komplekse talplan, hvor er tallets vinkelrette nedfældningspunkt på real-aksen, og dets vinkelrette nedfældningspunkt på imaginæraksen. Realdelen er kort sagt tallets førstekoordinat, mens imaginærdelen er tallets andenkoordinat.

Bemærk, at ethvert komplekst tal kan opskrives på rektangulær form således:

 
  Eksempel 29.20: Realdel og Imaginærdel

Tre komplekse tal er givet ved

Find realdelen og imaginærdelen af hvert tal.

To komplekse tal på rektangulær form er ens, hvis og kun hvis såvel deres realdele som deres imaginærdele er ens.

29.4 Konjugering af komplekse tal

 
  Definition 29.21: Konjugering

Lad være et komplekst tal med rektangulær form Ved det konjugerede tal til forstås det komplekse tal givet ved

(29-13)

At konjugere et komplekst tal svarer til at det spejles i realaksen som vist på figur 29.3.

Figur 29.3 Spejling i realaksen

Det er indlysende, at det konjugerede tal til et konjugeret tal er det oprindelige tal selv:

(29-14)

Endvidere gælder følgende nyttige formel for produktet af et komplekst tal og dets konjugerede tal:

(29-15)

som bevises ved simpel udregning.

I den følgende metode vises en snild metode til omskrivning af en brøk med imaginær nævner til rektangulær form, hvor vi udnytter at produktet af et tal og dets konjugerede altid bliver et reelt tal, jf. (29-15).

 
  Metode 29.22: Udregning af brøk med imaginær nævner

Huskereglen er: Forlæng brøken med nævnerens konjugerede. Her er nævneren opskrevet på rektangulær form:

Et eksempel:

For konjugering i forbindelse med de fire sædvanlige regnearter gælder der følgende meget simple regler.

 
  Sætning 29.23: Regneregler for konjugering

 
  Bevis

Beviset gennemføres ved simple omformninger ud fra tallenes rektangulære form. Som eksempel tager vi den første formel. Antag og Så gælder:

Til sidst bemærker vi, at alle komplekse tal på realaksen er identiske med deres konjugerede tal, og at de er de eneste komplekse tal, der opfylder denne egenskab. Vi kan af den grund opstille et kriterium for, om et givet tal i en mængde af komplekse tal er reelt:

 
  Sætning 29.24: Realkriteriet

Lad være en delmængde af og lad betegne den delmængde af , som består af reelle tal. Der gælder:

 
  Bevis

Lad være et vilkårligt tal i med rektangulær form Der gælder da:

29.5 Polære koordinater

Den oplagte måde at angive et punkt (eller en stedvektor) i et sædvanligt -koordinatsystem på er naturligvis ved punktets rektangulære, dvs. retvinklede, koordinater . I mange situationer er det imidlertid nyttigt at kunne bestemme et punkt ved dets polære koordinater, som består af punktets afstand til Origo samt dets retningsvinkel fra -aksen til dets stedvektor. Retningsvinklen er da positiv, hvis den måles i retning mod uret, og negativ i retning med uret.

I det følgende indfører på tilsvarende vis polære koordinater for komplekse tal. Lad os først præcisere en orientering af den komplekse talplan.

 
  Definition 29.25: Orientering af den komplekse talplan

Orienteringen af den komplekse talplan fastlægges ved, at en cirkel med centrum i tallet gennemløbes mod uret.

Figur 29.4 Den komplekse talplans orientering

Ingredienserne i det komplekse tals polære koordinater er som nævnt dets afstand til Origo, kaldet absolutværdien, og dets retningsvinkel, kaldet argumentet. Dem indfører vi nu.

 
  Definition 29.26: Absolutværdi og argument

Givet et komplekst tal .

Ved absolutværdien af forstås længden af den til hørende stedvektor. Absolutværdien skrives og kaldes også for tallets modulus eller numeriske værdi.

Antag . Enhver vinkel fra realaksens positive del til stedvektoren for kaldes et argument for og betegnes arg. Vinklen regnes med fortegn i overensstemmelse med orienteringen af den komplekse talplan.

Figur 29.5 Absolutværdi og argument

Et sammenhørende par

af absolutværdien af og et argument for kaldes for tallets polære koordinater.

Bemærk, at argumentet for et tal ikke er entydigt. Hvis man for eksempel lægger vinklen til et vilkårligt argument for , opnår man igen en gyldig retningsvinkel for og dermed et nyt gyldigt argument. Et komplekst tal har derfor uendeligt mange argumenter, der hver svarer til at dreje et antal ekstra hele omgange med eller mod uret for igen at nå samme punkt.

Man kan altid vælge et argument for , som ligger i intervallet fra til . Der er tradition for at give dette argument en fortrinsstilling. Det kaldes for tallets hovedargument.

 
  Definition 29.27: Hovedargument

Givet et komplekst tal , som ikke er Ved hovedargumentet Arg for forstås det entydigt bestemte argument for , som opfylder:

Vi betegner hovedargumentet med stort forbogstav Arg til forskel fra , der betegner et vilkårligt argument. Samtlige argumenter for et komplekst tal er da fastlagt ved

(29-16)

To komplekse tal er ens, hvis og kun hvis såvel deres absolutværdier som deres hovedargumenter er ens.

 
  Eksempel 29.28: Hovedargumenter



Figur 29.6 Hovedargumenter

På figuren er angivet fem komplekse tal, hvoraf de fire ligger på vinkelhalveringslinjer mellem akserne. Vi aflæser:

  • har hovedargumentet ,

  • har hovedargumentet ,

  • har hovedargumentet ,

  • har hovedargumentet , og

  • har hovedargumentet

Om det er mest fordelagtigt at benytte komplekse tals rektangulære form eller deres polære koordinater, afhænger af situationen. Det er derfor vigtigt, at man hurtigt kan veksle mellem dem. I metode 29.29 demonstreres det, hvordan man kan veksle mellem de to former.

 
  Metode 29.29: Rektangulære og polær koordinater

Vi betragter et komplekst tal , som har den rektangulære form og et argument :

Figur 29.7 Omformning mellem rektangulær form og polære koordinater

  1. Rektangulær form fås ud fra de polære koordinater således:

    (29-17)
  2. Absolutværdien fås ud fra den rektangulære form således:

    (29-18)
  3. Et argument fås ud fra den rektangulære form ved at finde en vinkel der opfylder begge disse ligninger:

    (29-19)

Når som på figuren i metode 29.29 er tegnet i første kvadrant, er det oplagt, at reglerne (29-17) og (29-19) kommer fra velkendte formler for cosinus og sinus til spidse vinkler i retvinklede trekanter og (29-18) fra Pythagoras' sætning. Med de samme formler kan det vises, at de indførte metoder gælder, uanset hvilken kvadrant ligger i.

 
  Eksempel 29.30: Fra rektangulær til polær form

Find de polære koordinater for tallet .

Figur 29.8 Bestemmelse af polære koordinater

Vi benytter reglerne i metode 29.29. Først identificeres reel- og imaginærdelen af som

Vi bestemmer først absolutværdien:

Dernæst bestemmes argumentet. Ud fra ligningen

får vi to bud på et hovedargument for , nemlig

På figuren ses, at ligger i 2. kvadrant, og det korrekte hovedargument må derfor være det førstnævnte. Men dette kan også fastlægges uden inspektion af figuren, idet også ligningen

skal være opfyldt. Fra denne får vi også to bud på et hovedargument for , nemlig

Da kun opfylder begge ligninger, ser vi, at

Hermed har vi fundet det polære koordinatsæt for :

Vi afslutter dette afsnit med de vigtige produktregler for absolutværdier og argumenter.

 
  Sætning 29.31: Produktreglen for absolutværdi

Absolutværdien for produktet af to komplekse tal og fås ved

(29-20)

Af sætning 29.31 fås følgesætningen

 
  Følgesætning 29.32

Absolutværdien for kvotienten af to komplekse tal og , hvor , fås ved

(29-21)

Absolutværdien af den 'te potens af et komplekst tal fås for ethvert ved

(29-22)

 
  Opgave 29.33

Nedskriv i ord, hvad formlerne (29-20), (29-21) og (29-22) siger, og bevis dem.

 
  Sætning 29.34: Produktreglen for argumenter

Givet to komplekse tal og (hvorved også Der gælder, at hvis er et argument for og er et argument for så er et argument for produktet

 
  Følgesætning 29.35

Givet to komplekse tal og , som begge er forskellige fra Der gælder:

  1. Hvis er et argument for og et argument for så er et argument for brøken

  2. Hvis er et argument for så er et argument for potensen

 
  Opgave 29.36

29.6 Geometrisk forståelse af de fire regnearter

Vi startede med at indføre addition, subtraktion, multiplikation og division af komplekse tal som algebraiske operationer udført på reelle talpar , se definitionerne 29.3, 29.5, 29.7 og 29.10. Derefter viste vi, at de komplekse tals rektangulære form fører til en mere praktisk måde at dyrke regnearterne på: man kan regne med de komplekse tal på samme måde som med de reelle, når blot tallet behandles på samme måde som en reel parameter, og det udnyttes, at I dette afsnit skal vi se, at regneoperationerne også kan forstås som geometriske konstruktioner.

Den første præcise beskrivelse af de komplekse tal blev givet af den norske landmåler Caspar Wessel i Wessel indførte komplekse tal som linjestykker med givne længder og retninger, altså det vi i dag kalder vektorer i planen. Regning med komplekse tal var derfor geometriske operationer udført på vektorer. I det følgende gengiver vi ideen i Wessels definitioner. Det er nemt at indse ækvivalensen mellem den algebraiske og geometriske repræsentation af addition og subtraktion — det kræver mere at forstå ækvivalensen forsåvidt angår multiplikation og division.

 
  Sætning 29.37: Geometrisk addition

Addition af to komplekse tal og kan opnås geometrisk på følgende måde:

Stedvektoren for er summen af stedvektorerne for og



Figur 29.9 Addition ved parallelogram-metoden

 
  Bevis

Antag at og er givet på rektangulær form ved og Så har stedvektoren for koordinatsættet og stedvektoren for koordinatsættet Summen af de to stedvektorer er dermed som er stedvektoren for det komplekse tal Da der algebraisk gælder er det ønskede vist.

Geometrisk subtraktion fås som en særlig form af geometrisk addition: Stedvektoren for er summen af stedvektoren for og den modsatte vektor til stedvektoren for Situationen er illustreret på figur



Figur 29.10 Subtraktion ved parallelogram-metoden

Mens vi ved undersøgelsen af geometrisk addition (og substraktion) har benyttet de komplekse tals rektangulære form, får vi ved geometrisk multiplikation (og division) brug for deres polære koordinater.

 
  Sætning 29.38: Geometrisk multiplikation

Givet to komplekse tal og , som begge er forskellige fra (hvorved også Multiplikation af og kan opnås geometrisk på følgende måde:

  1. Absolutværdien for produktet fås, når man ganger absolutværdien af med absolutværdien af

  2. Et argument for produktet af fås, når man lægger et argument for sammen med et argument for

 
  Bevis

Første del af sætningen fremgår af sætning 29.31, mens anden del fremgår af sætning 29.34.

 
  Eksempel 29.39: Multiplikation vha. polære koordinater

To komplekse tal og er givet ved de polære koordinater henholdsvis .

Figur 29.11 Multiplikation

Vi udregner produktet af og ved hjælp af deres absolutværdier og argumenter:

Produktet er altså det komplekse tal, som har absolutværdien og argumentet

Bemærk, at det er vigtigt at notere sig, om et koordinatsæt er givet i rektangulære eller i polære koordinater.

 
  Eksempel 29.40: Division vha. polære koordinater

Tallene og er givet ved og arg henholdvis og arg



Figur 29.12 Division

Derved kan bestemmes ved

29.7 Den komplekse eksponentialfunktion

Den sædvanlige eksponentialfunktion har som bekendt de karakteristiske egenskaber ,

  1. og

I dette afsnit vil vi indføre en særdeles nyttig udvidelse af den reelle eksponentialfunktion til en kompleks eksponentialfunktion, der viser sig at opfylde de samme regneregler som den reelle.

 
  Definition 29.41: Kompleks eksponentialfunktion

Ved den komplekse eksponentialfunktion forstås en funktion, som til ethvert tal med rektangulær form lader svarer tallet

(29-23)

hvor er grundtallet for den reelle (naturlige) eksponentialfunktion.

Da vi for ethvert reelt tal får

ser vi, at den komplekse eksponentialfunktion overalt på realaksen er identisk med den reelle eksponentialfunktion. Vi risikerer derfor ikke en modstrid, når vi i det følgende vil tillade (og flittigt bruge) skrivemåden

(29-24)

Vi betragter nu det komplekse tal , hvor er et vilkårligt komplekst tal med rektangulær form Der gælder da (ved brug af sætning 29.31), at

(29-25)

Endvidere gælder (ved brug af sætning 29.34), at

(29-26)

De polære koordianter for er dermed hvilket er illustreret i figur



Figur 29.13 Geometrisk fortolkning af

For de trigonometriske funktioner og vides, at der for ethvert helt tal gælder og . Hvis man forskyder grafen for eller med et vilkårligt multiplum af , vil den gå over i sig selv igen. Funktionerne kaldes derfor periodiske med perioden .

Et lignende fænomen kan ses ved den komplekse eksponentialfunktion. Den har den imaginære periode . Dette hænger i høj grad sammen med periodiciteten af de trigonometriske funktioner, hvilket kan ses i beviset for den følgende sætning.

 
  Sætning 29.42: Periodicitet af

For ethvert komplekst tal og ethvert helt tal gælder:

(29-27)

 
  Bevis

Antag, at har rektangulær form , og

Der gælder:

Hermed er sætningen bevist.

I det følgende eksempel illustreres periodiciteten af den komplekse eksponentialfunktion.

 
  Eksempel 29.43: Eksponentiel ligning

Bestem samtlige løsninger for ligningen

(29-28)

Vi skriver først på rektangulær form: . I eksempel 29.30 har vi fundet, at højresiden i (29-28) har absolutværdien og hovedargumentet . Da venstresiden og højresiden skal have samme absolutværdi og samme argument, pånær et vilkårligt multiplum af , fås

Samtlige løsninger for (29-28) er dermed

Vi slutter afsnittet med at opstille og bevise de i indledningen nævnte regneregler kendt fra den reelle eksponentialfunktion.

 
  Sætning 29.44: Regneregler for kompleks eksponentialfunktion

 
  Bevis

Punkt 1 i sætningen, at følger af at den komplekse eksponentialfunktion er identisk med den reelle på den reelle akse, jf. (29-24).

I punkt 2 sætter vi og Via polære koordinatsæt og sætning 29.38 fås:

I punkt 3 sætter vi og får via polære koordinatsæt samt gentagen anvendelse af sætning 29.38:

Hermed er sætningen bevist.

 
  Opgave 29.45

Vis, at der for ethvert gælder

29.8 Komplekse tals eksponentielle form

Lad være et vilkårligt reelt tal. Indsættes det rent imaginære tal i den komplekse eksponentialfunktion, fås af definition :

hvorved den berømte Eulers formel fremkommer.

 
  Sætning 29.46: Eulers formel

For ethvert gælder:

(29-29)


Figur 29.14 Tallet i den komplekse talplan

Ved hjælp af definitionen på den komplekse eksponentialfunktion, se definition , udledte vi Eulers formel. Nu kan vi omvendt benytte Eulers formel til at opskrive den komplekse eksponentialfunktion på den bekvemme form

(29-30)

De to mest brugte skrivemåder for komplekse tal i både teoretisk og anvendt matematik er den rektangulære form (som flittigt benyttet ovenfor) og den eksponentielle form. I den eksponentielle form optræder tallets polære koordinater (absolutværdi og argument) i forbindelse med den komplekse eksponentialfunktion:

 
  Sætning 29.47: Komplekse tals eksponentiel form

Ethvert komplekst tal kan skrives på formen

(29-31)

hvor er et argument for . Skrivemåden kaldes tallets eksponentielle form.

 
  Bevis

Lad være et argument for det komplekse tal og sæt Vi viser, at tallet har samme absolutværdi og argument som hvormed de to tal er ens:

  1. Da er et argument for , og er et argument for er et argument for produktet

 
  Metode 29.48: Udregninger ved hjælp af eksponentiel form

En afgørende fordel ved den eksponentielle form af komplekse tal er, at man ikke behøver tænke på regnereglerne for multiplikation, division og potensopløftning, når tallenes polære koordinater benyttes, se sætning 29.31, følgesætning 29.32 og sætning 29.34. Alle udregninger kan nemlig udføres ved, at man bruger de sædvanlige regneregler på tallenes eksponentielle form .

Vi giver nu et eksempel på multiplikation efter metode 29.48; sammenlign med eksempel 29.39.

 
  Eksempel 29.49: Multiplikation på eksponentiel form

To komplekse tal er givet på eksponentiel form,

Produktet af tallene fås på eksponentiel form ved

 
  Opgave 29.50

Gør rede for, at metode 29.48 er korrekt.

I det følgende vil vi vise hvordan, såkaldte binome ligninger kan løses ved hjælp af eksponentiel form. En binom ligning er en toleddet ligning på formen

(29-32)

hvor og . Binome ligninger er beskrevet dybere i eNote 30 om polynomier.

Vi viser først et eksempel på løsning af en binom ligning ved hjælp af eksponentiel form og opstiller derefter den generelle metode.

 
  Eksempel 29.51: Binom ligning på eksponentiel form

Find samtlige løsninger på den binome ligning

(29-33)

Ideen er, at vi skriver såvel som højresiden på eksponentiel form.

Hvis har den eksponentielle form , kan ligningens venstreside udregnes ved

(29-34)

Højresiden opstilles nu ligeledes på eksponentiel form. Højresidens absolutværdi findes ved

Højresidens argument opfylder

Ved hjælp af de to ligninger kan højresidens hovedargument fastlægges til

og dermed er den eksponentielle form af højresiden

(29-35)

Vi indsætter nu (29-34) og (29-35) i (29-33) for at erstatte højre- og venstresiden med de eksponentielle former

Da ventresidens absolutværdi skal være lig højresidens, får vi

Venstresidens argument og højresidens argument skal være ens på nær et multiplum af . Heraf fås

Disse uendeligt mange argumenter svarer vel at mærke, som vi har set tidligere, kun til fire halvlinjer ud fra Origo bestemt ved de argumenter, der fås ved og . For alle andre værdier af vil den tilsvarende halvlinje være identisk med en af de fire nævnte. For eksempel vil halvlinjen for være givet ved argumentet

det vil sige samme halvlinje som svarer til , da forskellen på argumenterne er en hel omgang, altså .

Den givne ligning (29-33) har derfor netop fire løsninger, som ligger på de nævnte fire halvlinjer i afstanden fra . Angivet på eksponentiel form:

Eller omregnet hver for sig til rektangulær form ved brug af Eulers formel (29-29):

Alle løsningerne for en binom ligning ligger på en cirkel med centrum i og radius lig med højresidens absolutværdi. Forbindelseslinjerne mellem Origo og løsningerne deler cirklen i lige store vinkler. Dette eksemplificeres på figur , der viser løsningerne på fjerdegradsligningen fra eksempel 29.51.



Figur 29.15 De fire løsningerne for

Fremgangsmåden i eksempel 29.51 generaliserer vi i den følgende sætning. Sætningen bevises i eNote 30 om polynomier.

 
  Sætning 29.52: Binom ligning løst vha. eksponentiel form

Givet et komplekst tal , som ikke er , og som har den eksponentielle form

Den binome ligning

(29-36)

har løsninger, som kan findes ved formlen

(29-37)

 
  Opgave 29.53: Binom ligning med negativ højreside

Lad være et vilkårligt positivt reelt tal. Vis ved hjælp af sætning 29.52, at den binome andengradsligning

har de to løsninger

29.9 Første og andengradsligninger

Lad og være komplekse tal med En kompleks førstegradsligning på formen

har ligesom den tilsvarende reelle førstegradsligning netop én løsning

Hvis og er på rektangulær form, finder man nemt en løsning på rektangulær form, som vist i det følgende eksempel.

 
  Eksempel 29.54: Løsning af førstegradsligning

Ligningen

har løsningen

Også ved løsning af komplekse andengradsligninger benytter vi en formel, der svarer til den velkendte løsningsformel for reelle andengradsligninger. Dette gives i følgende sætning, der bevises i eNote 30 om polynomier.

 
  Sætning 29.55: Løsningsformel for kompleks andengradsligning

Lad og være vilkårlige komplekse tal med Vi definerer diskriminanten ved Andengradsligningen

(29-38)

har to løsninger

(29-39)

hvor er en løsning til den binome andengradsligning

Hvis specielt gælder der, at

I denne eNote indfører vi ikke kvadratrødder af komplekse tal. Derfor afviger den komplekse løsningsformel ovenfor i en enkelt detalje fra den sædvanlige reelle løsningsformel.

Konkrete eksempler på anvendelsen af sætningen findes i afsnit 30.5.2 i eNote 30 om polynomier.

29.10 Komplekse funktioner af en reel variabel

I dette afsnit benyttes teorien om såkaldte epsilonfunktioner til indføring af differentiabilitet. Stoffet er en anelse mere avanceret end hidtil, og viden om epsilonfunktioner fra eNote 14 kan være en fordel. Desuden bør læseren være bekendt med differentiationsregneregler for sædvanlige reelle funktioner.

Du bør bide godt mærke i funktioner af typen

(29-40)

hvor er et givet komplekst tal. Denne type funktioner har vid udbredelse i såvel teoretisk som anvendt matematik. Et hovedformål med dette afsnit er at beskrive dem nærmere. De er eksempler på de såkaldte komplekse funktioner af en reel variabel. Vores undersøgelse starter bredt med denne større klasse af funktioner. Vi viser blandt andet, hvordan begreber som differentiabilitet og differentialkvotient kan overføres til dem. Derefter går vi i dybden med funktionstypen (29-40).

 
  Definition 29.56: Kompleks funktion af en reel variabel

Ved en kompleks funktion af en reel variabel forstås en funktion , som til ethvert knytter ét komplekst tal, som betegnes En kort skrivemåde for en funktion af denne type er

Notationen fortæller, at vi i funktionen benytter en variabel i det reelle talrum, men ender med et resultat i det komplekse talrum. Tag for eksempel funktionen . I det reelle tal får vi den komplekse funktionsværdi

Lad os betragte en funktion Vi indfører to reelle funktioner og ved

for alle Herved kan angives på rektangulær form:

(29-41)

Når vi i det følgende skal indføre differentiabilitet for komplekse funktioner af en reel variabel, får vi brug for en speciel type af dem, nemlig de såkalde epsilonfunktioner. I lighed med reelle epsilonfunktioner er det hjælpefunktioner, hvis funktionsudtryk man som regel ikke er interesseret i. De to afgørende egenskaber for en reel epsilonfunktion er, at den opfylder og at når De komplekse epsilonfunktion indføres på tilsvarende vis.

 
  Definition 29.57: Epsilon-funktion

Ved en kompleks epsilonfunktion af en reel variabel forstås en funktion , som opfylder:

  1. , og

  2. .

Bemærk, at hvis er en epsilonfunktion, så følger det direkte af definition , at der for ethvert gælder:

I det følgende eksempel vises et par komplekse epsilonfunktioner af en reel variabel.

 
  Eksempel 29.58: Epsilonfunktioner

Funktionen

er en epsilonfunktion. Det ses, da krav 1 i definition er opfyldt ved

og krav to ved

Også funktionen

er en epsilonfunktion, idet

og

Vi er nu rede til af indføre begrebet differentiabilitet for komplekse funktioner af en reel variabel.

 
  Definition 29.59: Differentialkvotient for kompleks funktion

En funktion kaldes differentiabel i , hvis der findes en konstant og en epsilon-funktion sådan, at

(29-42)

Hvis er differentiabel i kaldes for differentialkvotienten for i

Hvis er differentiabel i ethvert i et åbent interval siges at være differentiabel

Differentiabilitet for en kompleks funktion af en reel variabel hænger nøje sammen med differentiabiliteten for de to reelle dele af dens rektangulære form. Det viser vi nu.

 
  Sætning 29.60

For en funktion med rektangulær form og et komplekst tal med rektangulær form gælder:

er differentiabel i med

hvis og kun hvis og er differentiable i med

 
  Bevis

Antag først, at er differentiabel i og , hvor Så findes der en epsilon-funktion sådan, at for ethvert kan skrives på formen

Vi omskriver såvel ventre- som højresiden til rektangulær form:

Heraf fås

For at kunne konkludere, at og er differentiable i med , mangler vi blot at vise, at og er reelle epsilonfunktioner. Dette følger af, at

  1. medfører, at og at

  2. medfører, at og

Den omvendte påstand i sætningen vises på tilsvarende vis.

 
  Eksempel 29.61: Differentialkvotient af kompleks funktion

Ved udtrykket

er der defineret en funktion Da realdelen af har den afledede funktion og imaginærdelen af den afledede , får vi af sætning 29.60:

 
  Eksempel 29.62: Differentialkvotient af kompleks funktion

Betragt funktionen givet ved

Da og ses af sætning 29.60, at

I den følgende sætning betragter vi de såkaldte lineære egenskaber ved differentiation. Disse er velkendte fra reelle funktioner.

 
  Sætning 29.63: Regneregler for differentialkvotient

Lad og være differentiable komplekse funktioner af en reel variabel, og lad være et vilkårligt komplekst tal. Der gælder da:

1. Funktionen er differentiabel med differentialkvotienten

(29-43)

2. Funktionen er differentiabel med differentialkvotienten

(29-44)

 
  Bevis

Lad og , hvor og er differentiable reelle funktioner. Lad endvidere være et vilkårligt komplekst tal på rektangulær form.

Sætningens første del:

Vi får da fra sætning 29.60 og ved brug af regneregler for differentialkvotienter af reelle funktioner:

Hermed er sætningens første del bevist.

Sætningens anden del:

Vi får fra sætning 29.60 og ved brug af regneregler for differentialkvotienter af reelle funktioner:

Hermed er sætningens anden del bevist.

 
  Opgave 29.64

Vis, at hvis og er differentiable komplekse funktioner af en reel variabel, så er funktionen differentiabel med differentialkvotienten

(29-45)

Vi vender nu tilbage til funktioner af typen (29-40). Først giver vi et nyttigt resultat om deres konjugering.

 
  Sætning 29.65

For et vilkårligt komplekst tal og ethvert reelt tal gælder:

(29-46)

 
  Bevis

Lad være den rektangulære form af Vi får da ved brug af definition og regnereglerne for konjugering i sætning :

Hermed er sætningen bevist.

For sædvanlige reelle eksponentialfunktioner af typen

hvor er en reel konstant, gælder der som bekendt, at

(29-47)

Vi slutter eNoten af med at vise, at den komplekse eksponentialfunktion af en reel variabel opfylder en helt tilsvarende differentiationsregel.

 
  Sætning 29.66: Differentiation af

Betragt et vilkårligt tal Funktionen givet ved

(29-48)

er differentiabel, og dens differentialkvotient er bestemt ved

(29-49)

 
  Bevis

Lad 's rektangulære form være Vi får da

Vi har altså

Da og er differentiable, er også differentiabel . Da endvidere

får vi nu

Hermed er sætningen bevist.

Hvis i sætning 29.66 er reel, udtrykker (29-49) naturligvis blot den sædvanlige differentiation af den reelle eksponentialfunktion som antydet i (29-47). Også hvad differentiation angår er den komplekse eksponentialfunktion af en reel variabel dermed en udvidelse af den reelle.